זווית, שטח מקבילית ויחס שטחים – בגרות קיץ 2023 מועד ב׳וקטורים 472 · שיעור 27
📄 נוסח השאלה
תיבה ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד D נמצא בראשית הצירים. הקודקודים A , C , D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה־x, של ציר ה־y ושל ציר ה־z בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD = 2 , DC = 5, נפח התיבה הוא 80.
א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D′. (2) כתבו את השיעורים של הקודקודים A , B , C , C′. (פתרנו בשיעור 26)
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון: הנקודה E נמצאת על המקצוע CC′ ומקיימת CE = 34CC′. הנקודה F היא אמצע המקצוע DD′. הנקודה K היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′C. הנקודה M נמצאת על הפאה AA′D′D ומקיימת: המרובע FEKM הוא מקבילית.
ב. מצאו את שיעורי הנקודות E , F , K. (פתרנו בשיעור 26)
ג. (1) חשבו את גודל הזווית FEK. (2) חשבו את שטח המקבילית FEKM.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה M. (2) הסבירו מדוע הנקודות A , M , F נמצאות על אותו ישר. (3) חשבו פי כמה שטח המקבילית FEKM גדול משטח המשולש AMK.
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית
📌 תזכורת מהסעיפים הקודמים (שיעור 26):
סעיף א – שיעורי הקודקודים: (1) D′(0 , 0 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
סעיף ב – שיעורי E , F , K: E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)
סעיף א – שיעורי הקודקודים: (1) D′(0 , 0 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
סעיף ב – שיעורי E , F , K: E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)
התיבה לפי קנה מידה (2 על 5 על 8). המקבילית FEKM בתכלת, והזווית FEK מסומנת.
(1) הזווית FEK היא הזווית בין הווקטורים EF ו־EK:
EF = F − E
📐 וקטור בין שתי נקודות
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
EF = F − E
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב F(0 , 0 , 4) , E(0 , 5 , 6):
EF = (0 , 0 , 4) − (0 , 5 , 6)
EF = (0 , −5 , −2)
EK = K − E
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב K(1 , 5 , 4) , E(0 , 5 , 6):
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
נציב K(1 , 5 , 4) , E(0 , 5 , 6):
EK = (1 , 5 , 4) − (0 , 5 , 6)
EK = (1 , 0 , −2)
EF · EK = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)
נציב EF = (0 , −5 , −2) , EK = (1 , 0 , −2):
EF · EK = 0 · 1 + (−5) · 0 + (−2) · (−2)
📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)
(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) = x1x2 + y1y2 + z1z2
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
EF · EK = 0 · 1 + (−5) · 0 + (−2) · (−2)
EF · EK = 4
|EF| = √(x2 + y2 + z2)
📐 אורך וקטור
נציב EF = (0 , −5 , −2):
|EF| = √(02 + (−5)2 + (−2)2)
|EF| = √(0 + 25 + 4) = √29
📐 אורך וקטור
|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
|EF| = √(0 + 25 + 4) = √29
|EK| = √(x2 + y2 + z2)
נציב EK = (1 , 0 , −2):
|EK| = √(12 + 02 + (−2)2)
|EK| = √(1 + 0 + 4) = √5
cos∢FEK = EF · EK|EF| · |EK|
📐 זווית בין וקטורים
📐 זווית בין וקטורים
cos(הזווית) = a·b|a|·|b|
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
cos∢FEK = EF · EK|EF| · |EK|
📐 זווית בין וקטורים
נציב EF · EK = 4 , |EF| = √29 , |EK| = √5:
cos∢FEK = 4√29 · √5 = 4√145 ≈ 0.3322
∢FEK ≈ 70.6 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢FEK = √(1 − cos2∢FEK)
📐 זווית בין וקטורים
cos(הזווית) = a·b|a|·|b|
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
sin∢FEK = √(1 − cos2∢FEK)
נציב cos2∢FEK = (4√145)2 = 16145:
sin∢FEK = √(1 − 16145) = √129145
S = |EF| · |EK| · sin∢FEK
📐 שטח מקבילית
נציב |EF| = √29 , |EK| = √5 , sin∢FEK = √129145:
S = √29 · √5 · √129145
📐 שטח מקבילית
S = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית · המשך
S = √29 · √5 · √129145
S = √145 · √129√145 = √129 ≈ 11.36
✅ פתרון סופי: (1) ∢FEK ≈ 70.6 מעלות
(2) S = √129 ≈ 11.36
(2) S = √129 ≈ 11.36
סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים
(1) במקבילית FEKM הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות: FM = EK.
M = F + EK
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב F(0 , 0 , 4) , EK = (1 , 0 , −2):
M = (0 , 0 , 4) + (1 , 0 , −2) = (1 , 0 , 2)
בדיקה: y = 0 – הנקודה על הפאה AA′D′D ✓
(2)
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY = XZ + ZY
סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים · המשך
(2)
AM = M − A
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב M(1 , 0 , 2) , A(2 , 0 , 0):
AM = (1 , 0 , 2) − (2 , 0 , 0)
AM = (−1 , 0 , 2)
AF = F − A
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים · המשך
AF = F − A
נציב F(0 , 0 , 4) , A(2 , 0 , 0):
AF = (0 , 0 , 4) − (2 , 0 , 0)
AF = (−2 , 0 , 4)
AF = 2 · AM
📐 וקטורים מקבילים
שני הווקטורים מקבילים ויוצאים מאותה נקודה A – לכן A , M , F על ישר אחד, ו־M היא אמצע AF.
📐 וקטורים מקבילים
a = t · b ⟸ a ∥ b
סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים · המשך
שני הווקטורים מקבילים ויוצאים מאותה נקודה A – לכן A , M , F על ישר אחד, ו־M היא אמצע AF.
הישר AF (סגול) עובר דרך M. המשולש AMK והמשולש FMK (ירוק) – אותו בסיס MK.
(3) האלכסון MK מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולכן:
SFMK = 12 · SFEKM
למשולשים AMK ו־FMK יש אותו בסיס MK. M היא אמצע AF, ולכן A ו־F נמצאות באותו מרחק מהישר MK – הגבהים שווים:
סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים · המשך
למשולשים AMK ו־FMK יש אותו בסיס MK. M היא אמצע AF, ולכן A ו־F נמצאות באותו מרחק מהישר MK – הגבהים שווים:
SAMK = SFMK = 12 · SFEKM
📐 שטח משולש ישר זווית
SFEKMSAMK = 2
✅ פתרון סופי: (1) M(1 , 0 , 2)
(2) AF = 2AM ⟸ על ישר אחד
(3) פי 2
(2) AF = 2AM ⟸ על ישר אחד
(3) פי 2
📐 שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📌 סיכום התשובות
סעיף ג
70.6 מעלות
√129 ≈ 11.36
√129 ≈ 11.36
סעיף ד
M(1 , 0 , 2)
הסבר
פי 2
הסבר
פי 2
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא